1. Introducción
1.1 ¿Qué es la investigación de operaciones?
1.2 La investigación de operaciones en la ciencia administrativa
1.3 Antecedentes
1.4 Modelos
1.5 Concepto de modelo
2. Modelos de Simulación, Pronóstico y Optimización
2.1 Modelos de simulación
2.2 Modelos de pronóstico con una variable
2.3 Modelos de pronóstico con dos o más variables
2.4 Modelos de optimización
2.4.1 Optimización de modelos sin restricciones
3 Problemas de Redes y Análisis de Markov
3.1 Cadenas de Markov
4 Programación Lineal
4.1 Campo de aplicación de la programación lineal
4.2 Solución gráfica
4.3 Método algebraico
4.4 Solución Factible
4.5 Método simplex
5. Método PERT y CPM
5.1 Técnica de Revisión y Evaluación de programas (PERT)
5.2 Método de la Ruta Crítica (CPM)
1. Introducción
1.1 ¿Qué es la investigación de operaciones?
La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costes
1.2 La investigación de operaciones en la ciencia administrativa
La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (óptima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.
Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes:
-Definición del problema.
-Construcción del modelo.
-Solución del modelo.
-Validación del modelo.
-Implantación de los resultados finales.
1.3 Antecedentes
El inicio de la Investigación de Operaciones se remonta a la época de la Segunda Guerra Mundial en donde surgió la necesidad urgente de asignar recursos escasos a las diferentes operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma mas efectiva, es por esto, que las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y tácticos, a dichos científicos se les pidió que hicieran investigaciones sobre las operaciones militares. Todo el esfuerzo de este equipo de científicos (que fueron el primer equipo de Investigación de Operaciones) lograron el triunfo de muchas batallas.
Luego de terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.
Desde la década de 1950, se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones en la industria, los negocios y el gobierno, desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrollados al final de los años 50.
Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones.
En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones.
1.4 Modelos
(a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.
(b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relación entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos p pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.
°Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones.
°Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos deterministicos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos(o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos
1.5 Concepto de modelo
• Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles.
• Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.
• El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.
• Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión verdadera.
• El modelo de decisión debe contener tres elementos:
* Alternativas de decisión, de las cuales se hace una selección.
* Restricciones, para excluir alternativas infactibles.
* Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles
2. Modelos de Simulación, Pronóstico y Optimización
2.1 Modelos de simulación
Simulación es la experimentación con un modelo de una hipótesis o un conjunto de hipótesis de trabajo.
Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann la define así: "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos".
2.2 Modelos de pronóstico con una variable
Modelo de media variable
Este modelo se utiliza para excluir las irregularidades de la evolución de series cronológicas. Se calcula la media de los valores de las últimas series cronológicas n. Siempre puede calcularse la media a partir de n valores según la fórmula.
De esta manera, la nueva media se calcula a partir del valor de promedio anterior y el valor actual ponderado con 1/n, menos el valor más antiguo ponderado con 1/n.
Este procedimiento sólo es adecuado para series de tiempos que son constantes, es decir, para series de tiempos sin patrones de tendencia o estacionales. Como todos los datos históricos se ponderan por igual con el factor 1/n, hacen falta exactamente n períodos para adaptarse a una posible modificación de nivel.
2.3 Modelos de pronóstico con dos o más variables
Se obtienen mejores resultados que los obtenidos con el modelo de media variable introduciendo factores de ponderación para cada valor del pasado. En el modelo del valor medio variable ponderado, cada valor del pasado se pondera con el factor R. La suma de los factores de ponderación es 1.
Fórmula para la media variable ponderada
=
Si la serie de tiempos que hay que pronosticar contiene variaciones de tendencia, se obtendrán mejores resultados con el modelo de valor medio variable ponderado más que con el modelo de valor medio variable. El modelo de valor medio variable pondera más los valores recientes que los datos más antiguos cuando determina la media, siempre y cuando se hayan seleccionado los factores de ponderación consecuentemente. Por lo tanto, el sistema podrá reaccionar con más rapidez ante una modificación del nivel.
2.4 Modelos de optimización
2.4.1 Optimización de modelos sin restricciones
En optimización sin restricciones se minimiza una función objetivo que depende de variables reales sin restricciones sobre los valores de esas variables.
La formulación matemática es:
(OSR) = _minx
f(x) ∈IRn
Donde f es una función suficientemente regular.
EJEMPLO:
Se intenta encontrar una curva que ajuste algunos datos experimentales, por ejemplo medidas y 1, . . . , y m de una señal tomadas en los tiempos
t1, . . . , tm.
Desde los datos y el conocimiento de la aplicación, se deduce que la señal tiene un comportamiento exponencial y oscilatorio, y se elige modelarlo por la función:
Φ(t, x) = x1 + x2e−(x3−t)2/x4 + x5 cos(x6t)
Los números reales xi, i = 1, . . . , 6 son los parámetros del modelo. Se desea seleccionarlos de manera que los valores del modelo Φ(tj, x) ajusten los datos observados yj tanto como sea posible. Para establecer el objetivo como un problema de optimización, se agrupan los parámetros xi en un vector de incógnitas (x1, . . . , x6)t y se definen los residuos
rj(x) = yj − Φ(tj, x), j= 1, . . .,m
Que miden la discrepancia entre el modelo y los datos observados. La estimación de x se obtendrá resolviendo el problema:
(MC)=_minx∈IR6
f(x) = r(x)tr(x)/2
Este es un problema de mínimos cuadrados no lineales, que es un caso especial de optimización sin restricciones. Si el numero de medidas es grande (por ejemplo 105), la evaluación de f o sus derivadas para un valor concreto del vector de parámetros x es bastante caro desde el punto de vista computacional.
3 Problemas de Redes y Análisis de Markov
3.1 Cadenas de Markov
Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionará en el futuro, dependen sólo del estado actual en que se encuentra el proceso, y por lo tanto, son independientes de los eventos ocurridos en el pasado.
•Si Xt = i , se dice que el proceso estocástico está en el estado i en el tiempo t.
•Llamemos Pij la probabilidad de estar en el estado j en el momento t+1, conocidos los estados anteriores
Proceso Markoviano
Pij = P {Xt+1 = j / X0 = k0, X1 = k1,..., Xt-1 = kt-1 ,Xt = i}
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i}
Pasado Presente
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i} Probabilidades condicionales para cada i y j
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i}= P {X1 = j / X0 = i}
para toda t=0,1.. Se llaman probabilidades de transición . Si para cada i,j
P {Xt+n = j / Xt = i}= P {Xn = j / X0 = i}
para toda t=0,1.. Se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias, es decir no cambian con el tiempo. Esto también implica Estas probabilidades se denotan Pij (n) y se llaman probabilidades de transición de n pasos
Diseño: Andrés Gómez
1-21
Pij (n) es simplemente la probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i se encuentre en el estado j después de n pasos
Propiedades
Pij
(n) ³ 0 para toda i y j; n=0,1,.....
Pij
S (n) = 1 para toda i ; n=0,1,.....
j = 0
M
La suma de las filas P siempre es 1
4 Programación Lineal
Programación linealy= 5x+3Las variables son las últimas letras del ABC. La y depende del valor que le asignemos a x, por lo que:x = variable independientey= variable dependienteFórmula general de la recta: y= mx+bEn donde:m= inclinación/ pendiente/tangente. Si se cambia, la recta gira sobre su eje principalb= Término independiente. Si se cambia, la recta a paralelamente hacia arriba.
En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
Aplicación de Programación Lineal
Un expendio de carnes de la ciudad acostubra a preparar la carne para albondigón con ena combinación de carne de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la teinda $80 por kilo; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta $60 el kilo ¿Qué cantidad de tipo de carne debe de emplear la tienda en cada kilo de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?
Precios= 80 res= 80% carne $80
=60 20% grasa
cerdo= 68% carne $60
32% grasa
Z= 80(20)+68(32)
Datos
X1= carne de res $80 kg z=80x1+60x2
X2= carne de cerdo $60 kg
Restricciones
x1+x2=1------------------------ 1 o 3
20x1+32x2=25----------------2 o 4
Método de igualación
De 3 De 4
x1=1-x2 20x1=25-32x2
x1=25-32x2
20
1-x2=25-32x2
20
20(1-x2)=25-32x2
20-20x2=25-32x2
4.1 Campo de aplicación de la programación lineal
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
Otros son:
§ Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
§ Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
§ Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
§ Solución de problemas de transporte.
4.2 Solución gráfica
Método Gráfico
Paso 1.- Despejar y de ecuación 1 y 2.
Paso 2.- Tabular asignando valores a x para obtener el comportamiento de y.
Paso 3.- Graficar.Paso 4.- Comprobación
4.3 Método algebraico
Método de Igualación
Paso 1.- Despejamos x de ambas ecuaciones.
Paso 2.- Igualar x.
Paso 3.- Sustituir en cualquiera de las ecuaciones.
Paso 4.- Comprobación.
Método de Sustitución
Paso 1.- Despejar x de ecuación 1.
Paso 2.- Sustituir x de la ecuación 1 en la ecuación 2 para obtener y.
Paso 3.- Se sustituye la y obtenida en el paso anterior en la ecuación 1.
Paso 4.- Comprobación.
Método de Reducción
Paso 1.- Eliminar a x de ambas ecuaciones.
Paso 2.- Sumar ambas ecuaciones.
Paso 3.- Sustituir y en ecuación 2.
Paso 4.- Comprobación
4.4 Solución Factible
Método Gauss-Jordan
Paso 1.-Armar la matriz principal.
Paso 2.- Hacer 1 el primer elemento del renglón 1.
Paso 3.- Armar la matriz.
Paso 4.- Hacer 0 el primer elemento del renglón 2.
Paso 5.- Armar la matriz.
Paso 6.- Hacer 1 el segundo elemento del renglón 2.
Paso 7.- Armar la matriz.
Paso 8.- Hacer 0 el segundo elemento del renglón 1.
Paso 9.- Armar la matriz.
Paso 10.- Comprobación.
4.5 Método simplex
El método simplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático se realiza una iteración. En consecuencia, un algoritmo sustituye un problema difícil por una serie de problemas fáciles.
Modelo Matémático
z=30x1+50x2
Restricciones acomodando
2x1+x2 < 50x2="0" s1="160/1=">
s2="110/2="65" s1="110/5/3="3(110)/5="330/5="66" s2="10/-1/3="30="3(10)/1"> menor
s3= 50/1/3=3(50)/1=150
°Hacer 1 la intersección de s2 con x1
Rp(3)= (0 1/3 0 0 1 -2/3 10)(3)
=(0 3/3 0 0 3 -6/3 30)
(0 1 0 0 3 -2 30)
Hacer 0 el 2do elemento Rz
Rp(40/3)=(0 1 0 0 3 -2 30)(40/3)
+(0 40/3 0 0 40 -80/3 400)
1 -40/3 0 0 0 50/3 2500
1 0 0 0 40 -30/3 2900
Hacer 0 5/3 segmento elemento de s1
Rp(-5/3)(0 1 0 0 3 -2 30)
+ 0 -5/3 0 0 -5 10/3 -50
0 5/3 0 1 0 -1/3 110
0 0 0 1 -5 9/3
Hacer 0 el 2do elemento Rx2
Rp(-1/3)=(0 1 0 0 3 -230)-(1/3)=
0 1/3 0 0 -1 2/3 -10
0 1/3 1 0 0 1/3 50
0 0 1 0 -1 3/2 40
0 0 1 0 1 1 40
Solución
Z=30x1+50x2
=30(30)+50(40)=900+2000=2900
Para 1
2(30)+40=60+40=100
Para 2
30+2(40)=30+80=110
Para 3
30+3(40)=150
5. Método PERT y CPM
Esta técnica nos permite la cimentación y visualización de un diagrama de red representando cada actividad (etapa) mediante una flecha llamada arco. Así miso las redes tienen un papel importante en el manejo de los proyectos permitiendo demostrar las relaciones entre las actividades, además el nodo en el diagrama de red es un aspecto de mucha importancia en un problema como la fuente y destinación de bienes, sin dudas el PERT y CPM es una herramienta de estudios múltiples con una serie de elementos Inter conectados por lo que se requiere desde interpretaciones reales y objetivas al momento de ser empleadas, pero con la convicción de que sus resultados serán beneficiosos al cumplimiento de las metas de las metas planeadas en los diversos campos.
5.1 Técnica de Revisión y Evaluación de programas (PERT)
El método PERT es una técnica que le permite dirigir la programación de su proyecto. El método PERT consiste en la representación gráfica de una red de tareas, que, cuando se colocan en una cadena, permiten alcanzar los objetivos de un proyecto.
Fue diseñada por la marina de los Estados Unidos para permitir la coordinación del trabajo de miles de personas que tenían que construir misiles con cabezas nucleares POLARIS.
En su etapa preliminar, el método PERT incluye lo siguiente:
• Desglose preciso del proyecto en tareas,
• Cálculo de la duración de cada tarea,
• La designación de un director del proyecto que se haga cargo de asegurar la supervisión de dicho proyecto, de informar, en caso de ser necesario, y de tomar decisiones en caso de que existan variaciones de las proyecciones.
La red PERT (a veces denominada gráfico PERT) consta de los siguientes elementos:
• Tareas (a veces denominadas actividades o etapas), representadas por una flecha. Se le asigna a cada una de las tareas un código y una duración. Sin embargo, la longitud de la flecha es independiente de la duración de la tarea.
• Etapas, es decir, el inicio y el final de la tarea. Cada tarea tiene una etapa de inicio y una de finalización. Con excepción de las etapas iniciales y finales, cada etapa final es una etapa de inicio de la siguiente tarea. Las etapas generalmente están numeradas y representadas por un círculo, pero en algunos otros casos pueden estar representadas por otras formas (cuadrados, rectángulos, óvalos, etc.).
• Tareas ficticias, representadas por una flecha punteada que indica las limitaciones de las cadenas de tareas entre ciertas etapas.
5.2 Método de la Ruta Crítica (CPM)
El CPM fue desarrollado en 1957 por J.E. Nelly, de Rémington Rand y M.R. Walker de Du Pont. Al principio se diferencia de PERT por detalles de cómo se manejan el tiempo y el costo. En realidad, las diferencias entre PERT y CPM en la práctica concreta se han ido borrando en la medida en que las empresas han integrado las mejores características de ambos sistemas en sus propios esfuerzos por manejar con eficacia sus proyectos. Surge entonces como una herramienta importante en la administración porque permite dirigir un proyecto, concentrándose en todas aquellas actividades que pudiesen afectar su terminación.
Se basa en redes muy bien diseñadas que ayuden a controlar, dirigir, programar y ejecutar el plan creado. Teniendo como objetivo principal dotar de canales razonables para las actividades programadas. Según las definiciones citadas el método PERT, determina, es decir fija las decisiones que deben tomarse y el método CPM supone probabilidades, es decir, puede que ocurran los hechos. El CPM también determina cuanto se puede tardar la actividad dentro del proyecto sin retardar las otras actividades.
1.1 ¿Qué es la investigación de operaciones?
1.2 La investigación de operaciones en la ciencia administrativa
1.3 Antecedentes
1.4 Modelos
1.5 Concepto de modelo
2. Modelos de Simulación, Pronóstico y Optimización
2.1 Modelos de simulación
2.2 Modelos de pronóstico con una variable
2.3 Modelos de pronóstico con dos o más variables
2.4 Modelos de optimización
2.4.1 Optimización de modelos sin restricciones
3 Problemas de Redes y Análisis de Markov
3.1 Cadenas de Markov
4 Programación Lineal
4.1 Campo de aplicación de la programación lineal
4.2 Solución gráfica
4.3 Método algebraico
4.4 Solución Factible
4.5 Método simplex
5. Método PERT y CPM
5.1 Técnica de Revisión y Evaluación de programas (PERT)
5.2 Método de la Ruta Crítica (CPM)
1. Introducción
1.1 ¿Qué es la investigación de operaciones?
La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costes
1.2 La investigación de operaciones en la ciencia administrativa
La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (óptima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.
Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes:
-Definición del problema.
-Construcción del modelo.
-Solución del modelo.
-Validación del modelo.
-Implantación de los resultados finales.
1.3 Antecedentes
El inicio de la Investigación de Operaciones se remonta a la época de la Segunda Guerra Mundial en donde surgió la necesidad urgente de asignar recursos escasos a las diferentes operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma mas efectiva, es por esto, que las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y tácticos, a dichos científicos se les pidió que hicieran investigaciones sobre las operaciones militares. Todo el esfuerzo de este equipo de científicos (que fueron el primer equipo de Investigación de Operaciones) lograron el triunfo de muchas batallas.
Luego de terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.
Desde la década de 1950, se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones en la industria, los negocios y el gobierno, desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrollados al final de los años 50.
Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones.
En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones.
1.4 Modelos
(a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.
(b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relación entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos p pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.
°Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones.
°Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos deterministicos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos(o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos
1.5 Concepto de modelo
• Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles.
• Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.
• El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.
• Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión verdadera.
• El modelo de decisión debe contener tres elementos:
* Alternativas de decisión, de las cuales se hace una selección.
* Restricciones, para excluir alternativas infactibles.
* Criterios para evaluar y clasificar alternativas factibles
2. Modelos de Simulación, Pronóstico y Optimización
2.1 Modelos de simulación
Simulación es la experimentación con un modelo de una hipótesis o un conjunto de hipótesis de trabajo.
Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann la define así: "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos".
2.2 Modelos de pronóstico con una variable
Modelo de media variable
Este modelo se utiliza para excluir las irregularidades de la evolución de series cronológicas. Se calcula la media de los valores de las últimas series cronológicas n. Siempre puede calcularse la media a partir de n valores según la fórmula.
De esta manera, la nueva media se calcula a partir del valor de promedio anterior y el valor actual ponderado con 1/n, menos el valor más antiguo ponderado con 1/n.
Este procedimiento sólo es adecuado para series de tiempos que son constantes, es decir, para series de tiempos sin patrones de tendencia o estacionales. Como todos los datos históricos se ponderan por igual con el factor 1/n, hacen falta exactamente n períodos para adaptarse a una posible modificación de nivel.
2.3 Modelos de pronóstico con dos o más variables
Se obtienen mejores resultados que los obtenidos con el modelo de media variable introduciendo factores de ponderación para cada valor del pasado. En el modelo del valor medio variable ponderado, cada valor del pasado se pondera con el factor R. La suma de los factores de ponderación es 1.
Fórmula para la media variable ponderada
=
Si la serie de tiempos que hay que pronosticar contiene variaciones de tendencia, se obtendrán mejores resultados con el modelo de valor medio variable ponderado más que con el modelo de valor medio variable. El modelo de valor medio variable pondera más los valores recientes que los datos más antiguos cuando determina la media, siempre y cuando se hayan seleccionado los factores de ponderación consecuentemente. Por lo tanto, el sistema podrá reaccionar con más rapidez ante una modificación del nivel.
2.4 Modelos de optimización
2.4.1 Optimización de modelos sin restricciones
En optimización sin restricciones se minimiza una función objetivo que depende de variables reales sin restricciones sobre los valores de esas variables.
La formulación matemática es:
(OSR) = _minx
f(x) ∈IRn
Donde f es una función suficientemente regular.
EJEMPLO:
Se intenta encontrar una curva que ajuste algunos datos experimentales, por ejemplo medidas y 1, . . . , y m de una señal tomadas en los tiempos
t1, . . . , tm.
Desde los datos y el conocimiento de la aplicación, se deduce que la señal tiene un comportamiento exponencial y oscilatorio, y se elige modelarlo por la función:
Φ(t, x) = x1 + x2e−(x3−t)2/x4 + x5 cos(x6t)
Los números reales xi, i = 1, . . . , 6 son los parámetros del modelo. Se desea seleccionarlos de manera que los valores del modelo Φ(tj, x) ajusten los datos observados yj tanto como sea posible. Para establecer el objetivo como un problema de optimización, se agrupan los parámetros xi en un vector de incógnitas (x1, . . . , x6)t y se definen los residuos
rj(x) = yj − Φ(tj, x), j= 1, . . .,m
Que miden la discrepancia entre el modelo y los datos observados. La estimación de x se obtendrá resolviendo el problema:
(MC)=_minx∈IR6
f(x) = r(x)tr(x)/2
Este es un problema de mínimos cuadrados no lineales, que es un caso especial de optimización sin restricciones. Si el numero de medidas es grande (por ejemplo 105), la evaluación de f o sus derivadas para un valor concreto del vector de parámetros x es bastante caro desde el punto de vista computacional.
3 Problemas de Redes y Análisis de Markov
3.1 Cadenas de Markov
Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionará en el futuro, dependen sólo del estado actual en que se encuentra el proceso, y por lo tanto, son independientes de los eventos ocurridos en el pasado.
•Si Xt = i , se dice que el proceso estocástico está en el estado i en el tiempo t.
•Llamemos Pij la probabilidad de estar en el estado j en el momento t+1, conocidos los estados anteriores
Proceso Markoviano
Pij = P {Xt+1 = j / X0 = k0, X1 = k1,..., Xt-1 = kt-1 ,Xt = i}
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i}
Pasado Presente
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i} Probabilidades condicionales para cada i y j
Pij = P {Xt+1 = j / Xt = i}= P {X1 = j / X0 = i}
para toda t=0,1.. Se llaman probabilidades de transición . Si para cada i,j
P {Xt+n = j / Xt = i}= P {Xn = j / X0 = i}
para toda t=0,1.. Se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias, es decir no cambian con el tiempo. Esto también implica Estas probabilidades se denotan Pij (n) y se llaman probabilidades de transición de n pasos
Diseño: Andrés Gómez
1-21
Pij (n) es simplemente la probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i se encuentre en el estado j después de n pasos
Propiedades
Pij
(n) ³ 0 para toda i y j; n=0,1,.....
Pij
S (n) = 1 para toda i ; n=0,1,.....
j = 0
M
La suma de las filas P siempre es 1
4 Programación Lineal
Programación linealy= 5x+3Las variables son las últimas letras del ABC. La y depende del valor que le asignemos a x, por lo que:x = variable independientey= variable dependienteFórmula general de la recta: y= mx+bEn donde:m= inclinación/ pendiente/tangente. Si se cambia, la recta gira sobre su eje principalb= Término independiente. Si se cambia, la recta a paralelamente hacia arriba.
En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
Aplicación de Programación Lineal
Un expendio de carnes de la ciudad acostubra a preparar la carne para albondigón con ena combinación de carne de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y le cuesta a la teinda $80 por kilo; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta $60 el kilo ¿Qué cantidad de tipo de carne debe de emplear la tienda en cada kilo de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?
Precios= 80 res= 80% carne $80
=60 20% grasa
cerdo= 68% carne $60
32% grasa
Z= 80(20)+68(32)
Datos
X1= carne de res $80 kg z=80x1+60x2
X2= carne de cerdo $60 kg
Restricciones
x1+x2=1------------------------ 1 o 3
20x1+32x2=25----------------2 o 4
Método de igualación
De 3 De 4
x1=1-x2 20x1=25-32x2
x1=25-32x2
20
1-x2=25-32x2
20
20(1-x2)=25-32x2
20-20x2=25-32x2
4.1 Campo de aplicación de la programación lineal
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
Otros son:
§ Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
§ Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
§ Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
§ Solución de problemas de transporte.
4.2 Solución gráfica
Método Gráfico
Paso 1.- Despejar y de ecuación 1 y 2.
Paso 2.- Tabular asignando valores a x para obtener el comportamiento de y.
Paso 3.- Graficar.Paso 4.- Comprobación
4.3 Método algebraico
Método de Igualación
Paso 1.- Despejamos x de ambas ecuaciones.
Paso 2.- Igualar x.
Paso 3.- Sustituir en cualquiera de las ecuaciones.
Paso 4.- Comprobación.
Método de Sustitución
Paso 1.- Despejar x de ecuación 1.
Paso 2.- Sustituir x de la ecuación 1 en la ecuación 2 para obtener y.
Paso 3.- Se sustituye la y obtenida en el paso anterior en la ecuación 1.
Paso 4.- Comprobación.
Método de Reducción
Paso 1.- Eliminar a x de ambas ecuaciones.
Paso 2.- Sumar ambas ecuaciones.
Paso 3.- Sustituir y en ecuación 2.
Paso 4.- Comprobación
4.4 Solución Factible
Método Gauss-Jordan
Paso 1.-Armar la matriz principal.
Paso 2.- Hacer 1 el primer elemento del renglón 1.
Paso 3.- Armar la matriz.
Paso 4.- Hacer 0 el primer elemento del renglón 2.
Paso 5.- Armar la matriz.
Paso 6.- Hacer 1 el segundo elemento del renglón 2.
Paso 7.- Armar la matriz.
Paso 8.- Hacer 0 el segundo elemento del renglón 1.
Paso 9.- Armar la matriz.
Paso 10.- Comprobación.
4.5 Método simplex
El método simplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático se realiza una iteración. En consecuencia, un algoritmo sustituye un problema difícil por una serie de problemas fáciles.
Modelo Matémático
z=30x1+50x2
Restricciones acomodando
2x1+x2 < 50x2="0" s1="160/1=">
s2="110/2="65" s1="110/5/3="3(110)/5="330/5="66" s2="10/-1/3="30="3(10)/1"> menor
s3= 50/1/3=3(50)/1=150
°Hacer 1 la intersección de s2 con x1
Rp(3)= (0 1/3 0 0 1 -2/3 10)(3)
=(0 3/3 0 0 3 -6/3 30)
(0 1 0 0 3 -2 30)
Hacer 0 el 2do elemento Rz
Rp(40/3)=(0 1 0 0 3 -2 30)(40/3)
+(0 40/3 0 0 40 -80/3 400)
1 -40/3 0 0 0 50/3 2500
1 0 0 0 40 -30/3 2900
Hacer 0 5/3 segmento elemento de s1
Rp(-5/3)(0 1 0 0 3 -2 30)
+ 0 -5/3 0 0 -5 10/3 -50
0 5/3 0 1 0 -1/3 110
0 0 0 1 -5 9/3
Hacer 0 el 2do elemento Rx2
Rp(-1/3)=(0 1 0 0 3 -230)-(1/3)=
0 1/3 0 0 -1 2/3 -10
0 1/3 1 0 0 1/3 50
0 0 1 0 -1 3/2 40
0 0 1 0 1 1 40
Solución
Z=30x1+50x2
=30(30)+50(40)=900+2000=2900
Para 1
2(30)+40=60+40=100
Para 2
30+2(40)=30+80=110
Para 3
30+3(40)=150
5. Método PERT y CPM
Esta técnica nos permite la cimentación y visualización de un diagrama de red representando cada actividad (etapa) mediante una flecha llamada arco. Así miso las redes tienen un papel importante en el manejo de los proyectos permitiendo demostrar las relaciones entre las actividades, además el nodo en el diagrama de red es un aspecto de mucha importancia en un problema como la fuente y destinación de bienes, sin dudas el PERT y CPM es una herramienta de estudios múltiples con una serie de elementos Inter conectados por lo que se requiere desde interpretaciones reales y objetivas al momento de ser empleadas, pero con la convicción de que sus resultados serán beneficiosos al cumplimiento de las metas de las metas planeadas en los diversos campos.
5.1 Técnica de Revisión y Evaluación de programas (PERT)
El método PERT es una técnica que le permite dirigir la programación de su proyecto. El método PERT consiste en la representación gráfica de una red de tareas, que, cuando se colocan en una cadena, permiten alcanzar los objetivos de un proyecto.
Fue diseñada por la marina de los Estados Unidos para permitir la coordinación del trabajo de miles de personas que tenían que construir misiles con cabezas nucleares POLARIS.
En su etapa preliminar, el método PERT incluye lo siguiente:
• Desglose preciso del proyecto en tareas,
• Cálculo de la duración de cada tarea,
• La designación de un director del proyecto que se haga cargo de asegurar la supervisión de dicho proyecto, de informar, en caso de ser necesario, y de tomar decisiones en caso de que existan variaciones de las proyecciones.
La red PERT (a veces denominada gráfico PERT) consta de los siguientes elementos:
• Tareas (a veces denominadas actividades o etapas), representadas por una flecha. Se le asigna a cada una de las tareas un código y una duración. Sin embargo, la longitud de la flecha es independiente de la duración de la tarea.
• Etapas, es decir, el inicio y el final de la tarea. Cada tarea tiene una etapa de inicio y una de finalización. Con excepción de las etapas iniciales y finales, cada etapa final es una etapa de inicio de la siguiente tarea. Las etapas generalmente están numeradas y representadas por un círculo, pero en algunos otros casos pueden estar representadas por otras formas (cuadrados, rectángulos, óvalos, etc.).
• Tareas ficticias, representadas por una flecha punteada que indica las limitaciones de las cadenas de tareas entre ciertas etapas.
5.2 Método de la Ruta Crítica (CPM)
El CPM fue desarrollado en 1957 por J.E. Nelly, de Rémington Rand y M.R. Walker de Du Pont. Al principio se diferencia de PERT por detalles de cómo se manejan el tiempo y el costo. En realidad, las diferencias entre PERT y CPM en la práctica concreta se han ido borrando en la medida en que las empresas han integrado las mejores características de ambos sistemas en sus propios esfuerzos por manejar con eficacia sus proyectos. Surge entonces como una herramienta importante en la administración porque permite dirigir un proyecto, concentrándose en todas aquellas actividades que pudiesen afectar su terminación.
Se basa en redes muy bien diseñadas que ayuden a controlar, dirigir, programar y ejecutar el plan creado. Teniendo como objetivo principal dotar de canales razonables para las actividades programadas. Según las definiciones citadas el método PERT, determina, es decir fija las decisiones que deben tomarse y el método CPM supone probabilidades, es decir, puede que ocurran los hechos. El CPM también determina cuanto se puede tardar la actividad dentro del proyecto sin retardar las otras actividades.
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